Deel 3 van de reeks Van quarks tot quantumvoordeel

Quarks en kleurflux vormen in het vorige deel één lokaal constrained systeem. Dat levert meteen het computationele probleem op: hoe bewaren we de fysische toestanden zonder een enorme verzameling redundante en onfysische veldconfiguraties mee te simuleren?

De paper gebruikt daarvoor twee stappen. Eerst wordt de continue theorie op een ruimtelijk rooster geschreven met de Kogut-Susskind-Hamiltoniaan. Daarna wordt die Hamiltoniaan herschreven in de Loop-String-Hadron-basis. De LSH-basis lost de drie niet-Abelse Gauss-wetten lokaal op en beschrijft de overblijvende fysische informatie met een doorgaande flux en twee binaire stringeinden.

De drie delen van de Hamiltoniaan

Voor SU(2)-gaugevelden gekoppeld aan staggered fermions schrijft de paper de Hamiltoniaan als

\[
H=\frac{g^2}{2a}H_E+mH_M+\frac{1}{2a}H_I.
\]

Hier is \(a\) de roosterafstand, \(g\) de gaugekoppeling en \(m\) de fermionmassa. De drie operatoren hebben verschillende rollen:

• \(H_E\) meet de elektrische energie op de links.
• \(H_M\) geeft de staggered materie een massa-energie.
• \(H_I\) verplaatst materie tussen sites en past tegelijk het gaugeveld aan.

De interactieterm is essentieel. Een quark mag niet simpelweg naar de volgende site hoppen terwijl de flux onveranderd blijft. Materiebeweging en fluxverandering moeten samen de lokale Gauss-wet blijven respecteren.

Het is praktisch om alle grootheden dimensieloos te maken. De paper definieert

\[
W=\frac{2a}{g^2}H=H_E+\mu H_M+xH_I,
\]

met \(x=1/(g^2a^2)\) en \(\mu=2(m/g)\sqrt{x}\). Grote \(x\) correspondeert bij vaste massaverhouding met kleine roosterafstand en zwakke koppeling. De continuumrichting vereist daarom niet alleen \(x\to\infty\), maar ook een voldoende groot aantal sites \(N\to\infty\), zodat het fysische volume niet verdwijnt.

De hoofdinstantie gebruikt \(N=60\), \(x=100\) en \(m/g=1\), met een Trotterstap van 0,0015. Dat is geen continuumlimiet. Het is een groot, zwak gekoppeld roosterpunt waarop de klassieke referenties nog gedeeltelijk controleerbaar zijn.

De oorspronkelijke lokale variabelen

In de Kogut-Susskind-formulering staat op iedere link een SU(2)-matrix \(U(r)\). Aan beide uiteinden horen elektrische veldoperatoren \(E_L^a(r)\) en \(E_R^a(r)\). Op de sites staan tweekleurige staggered fermionvelden. De generator van een lokale gauge-transformatie is

\[
G^a(r)=E_L^a(r)+E_R^a(r-1)
+\psi^\dagger(r)\frac{\sigma^a}{2}\psi(r).
\]

Alle fysieke toestanden moeten door iedere \(G^a(r)\) worden geannuleerd. Die voorwaarde is exact, maar niet handig als hardware-encoding. Een register dat alle materie- en linkvariabelen onafhankelijk opslaat, bevat veel toestanden die de constraint niet respecteren. Bovendien zijn de drie SU(2)-Gausswetten niet onderling triviaal te reduceren tot losse klassieke bits.

Lokaal oplossen in plaats van achteraf filteren

De LSH-formulering begint bij prepotentialen: harmonische-oscillatorvariabelen aan de uiteinden van links. Door die lokaal met de fermionvelden tot SU(2)-singlets te combineren, ontstaan direct gauge-invariante operatoren en basistoestanden.

Een lokale LSH-toestand wordt geschreven als

\[
|n_l,n_i,n_o\rangle_r.
\]

De drie getallen betekenen:

• \(n_l\ge 0\): het aantal doorgaande fluxlijnen of loopflux op de site;
• \(n_i\in\{0,1\}\): aanwezigheid van een inkomend stringeinde;
• \(n_o\in\{0,1\}\): aanwezigheid van een uitgaand stringeinde.

Wanneer beide stringeinden aanwezig zijn, kan de lokale combinatie als een hadronische singlet worden geïnterpreteerd. Omdat \(n_i\) en \(n_o\) fermionisch zijn, zijn ze binair. \(n_l\) is bosonisch en heeft in beginsel geen bovengrens; klassieke berekeningen moeten daarvoor een cutoff kiezen.

flowchart LR
    A["materie en SU(2)-linkvelden"] --> B["lokale Gauss-wetten oplossen"]
    B --> C["LSH-toestand |n_l,n_i,n_o>"]
    C --> D["n_i en n_o naar twee qubits"]
    C --> E["n_l via linkconstraint reconstrueren"]

De LSH-basis lost de niet-Abelse Gauss-wetten op iedere site door constructie op. Er blijft wel een eenvoudigere linkvoorwaarde over: de flux die een site verlaat moet overeenkomen met de flux die de volgende site binnenkomt. De paper noemt dit de Abelian Gauss Law:

\[
\left[n_l+n_o(1-n_i)\right]_r
=
\left[n_l+n_i(1-n_o)\right]_{r+1}.
\]

Abelian betekent hier niet dat de oorspronkelijke theorie ineens een Abelse gauge-theorie is geworden. De lokale SU(2)-constraints zijn al in de basis opgelost; wat overblijft is een getalsmatige matching van flux over de link.

De volledige LSH-Hamiltoniaan

In deze basis blijft dezelfde fysica behouden. De volledige LSH-Hamiltoniaan

\[
W^{(\mathrm{LSH})}
=H_E^{(\mathrm{LSH})}+\mu H_M^{(\mathrm{LSH})}
+xH_I^{(\mathrm{LSH})}
\]

is exact equivalent aan de Kogut-Susskind-Hamiltoniaan binnen dezelfde bosonische cutoff. De elektrische en massatermen zijn diagonaal in de lokale LSH-getallen. De interactieterm bevat ladderoperatoren die stringeinden en flux samen veranderen. De square-rootfactoren in die term zorgen ervoor dat de amplitude afhangt van de aanwezige flux.

Dit is de Hamiltoniaan die de tensor-networkbaseline van de paper benadert. Een lokale tensorindex bevat de volledige toestand \(|n_l,n_i,n_o\rangle\), met een cutoff \(j_{\max}=5/2\). Daardoor simuleert TN meer lokale fysische informatie dan het uiteindelijke tweequbitcircuit.

Cutoff en eliminatie zijn verschillende benaderingen

De bosonische flux \(n_l\) is in de exacte LSH-basis onbegrensd. Een klassieke TN-berekening houdt die variabele expliciet bij, maar kapt de lokale basis af bij een gekozen \(j_{\max}\). De foutvraag is dan of de tijdsevolutie een relevante amplitude op fluxniveaus boven die cutoff ontwikkelt. Convergentie kan worden getest door \(j_{\max}\) te verhogen, zolang de rekentijd dat toelaat.

Het quantumcircuit doet iets anders. Het bewaart geen eindig fluxregister dat later groter kan worden gemaakt, maar elimineert \(n_l\) met de linkconstraint en de grote-randfluxbenadering. De fout wordt daarmee niet een gewone Hilbertruimtecutoff, maar een modelbenadering in de amplitudes en elektrische fasen.

Dit verschil verklaart waarom 120 qubits niet direct betekent dat TN en QPU dezelfde lokale Hilbertruimte gebruiken. TN bewaart meer LSH-informatie per site; de QPU gebruikt minder vrijheidsgraden dankzij een fysisch gemotiveerde benadering. De vergelijking tussen beide methoden is dus ook een test van die reductie.

De strong-coupling-vacuümtoestand

De eenvoudige producttoestand die als referentie wordt gebruikt heet het strong-coupling vacuum, of SCV. In de LSH-getallen is zij

n_l(r) = 0                         voor alle r
n_i(r) = n_o(r) = 0               voor even r
n_i(r) = n_o(r) = 1               voor oneven r

Met de staggered definitie van \(n_f\) heeft deze toestand geen lokale deeltjesexcitaties. Zij heeft globale baryonlading \(B=0\), netto flux \(q=0\) en \(Q=B+N=N=60\).

De naam kan misleiden. De SCV is de eenvoudige sterke-koppelingsproducttoestand, maar de paper gebruikt haar als initial state voor dynamica bij \(x=100\), dus in een zwak gekoppeld regime. Strong-coupling vacuum beschrijft hier de gekozen basisreferentie, niet de koppeling waaronder het circuit vervolgens evolueert.

Het meson wordt boven op dezelfde achtergrond geplaatst door de twee centrale sites \(n_f=1\) te geven. Beide initial states liggen in dezelfde globale \((B,q)=(0,0)\)-sector. Daardoor kan hun verschil een lokaal mesonsignaal isoleren zonder twee verschillende globale ladingssectoren te vergelijken.

Waarom n_l niet op een qubitregister hoeft

Een exacte lokale encoding zou ook de onbegrensde fluxvariabele \(n_l\) moeten opslaan. De paper vermijdt dat met een benadering die specifiek gebruikmaakt van één ruimtedimensie, open grenzen en de zwakke-koppelingsregimekeuze.

Laat een grote inkomende randflux \(l_i\gg1\) het rooster binnenkomen. Door de Abelian Gauss Law is de flux op site \(r\) dan bepaald door de randflux en alle eerdere stringeinden:

\[
n_l(r)=l_i-n_i(r)[1-n_o(r)]
+\sum_{r'<r}[n_o(r’)-n_i(r’)].
\]

In de gebruikte grote-fluxbenadering wordt de niet-lokale som in de leidende lokale interactiefactoren verwaarloosd en worden fluxafhankelijke verhoudingen zoals \(n_l/(n_l+1)\) door één benaderd. De dominante interactieterm wordt dan lokaal in de binaire stringeinden. Een deel van de grote achtergrondflux draagt alleen een globale fase bij en hoeft niet als dynamisch register te worden opgeslagen.

Daarmee wordt iedere fysieke configuratie voor het circuit gespecificeerd door alle \(n_i(r)\) en \(n_o(r)\). Omdat ieder getal nul of één is, zijn precies twee qubits per site nodig.

Wat wordt gewonnen en wat wordt opgegeven?

De winst is groot. De lokale niet-Abelse Gauss-wetten zijn al opgelost, de onbegrensde fluxregisters verdwijnen uit het hardwarecircuit en de interacties kunnen met lokale tweequbitblokken worden gebouwd. Voor 60 sites blijft de encoding bij 120 qubits.

De prijs is dat het quantumcircuit niet de volledige LSH-Hamiltoniaan uitvoert. De grote-randfluxbenadering, vereenvoudigde square-rootfactoren en behandeling van de elektrische achtergrond definiëren een benaderd zwakke-koppelingsmodel. Daar komt in de volgende stap nog Trotterfout bij.

Precies daarom is de tensor-networkberekening van de volledige LSH-Hamiltoniaan nodig. Overeenkomst tussen TN en het ideale circuit is het empirische bewijs dat de benadering in het onderzochte vroege tijdvenster de relevante hadrondynamica niet vernietigt.

Wat is hier aangetoond?

De LSH-formulering geeft een lokale, gauge-invariante basis die exact dezelfde SU(2)-fysica kan beschrijven als de Kogut-Susskind-formulering. Voor de hardware-implementatie reduceert een aanvullende zwakke-koppelingsbenadering de dynamische informatie tot twee binaire stringeinden per site.

Wat is nog niet aangetoond?

De tweequbitencoding is niet exact gelijk aan de volledige LSH-Hamiltoniaan voor willekeurige koppeling, flux en tijd. Haar geldigheidsgebied moet door kleine exacte berekeningen en door vergelijking met de volledige TN-route worden vastgesteld.

In deel 4 nemen we de twee binaire stringeinden als uitgangspunt. We laten zien hoe Jordan-Wigner-strings, Trotterisatie, interactiegates, fasegates en SWAP-lagen samen het uiteindelijke 120-qubit-QASM vormen.

Bronnen

1. Fran Ilčić et al., paper v3, vooral Methods, vergelijkingen 4-28.
2. I. Raychowdhury en J. R. Stryker, LSH-formulering voor SU(2).
3. Z. Davoudi, A. F. Shaw en J. R. Stryker, General quantum algorithms for Hamiltonian simulation with applications to a non-Abelian lattice gauge theory.
4. R. Dasgupta en I. Raychowdhury, zwakke-koppelingsbenadering voor string- en hadrondynamica.
5. Bronnen- en notatiedossier.