Deel 4 van de reeks Van quarks tot quantumvoordeel

Na de zwakke-koppelingsbenadering is iedere roostersite beschreven door twee binaire getallen: een inkomend stringeinde \(n_i(r)\) en een uitgaand stringeinde \(n_o(r)\). Daarmee is het aantal qubits bekend, maar nog niet het circuit. Een Hamiltoniaan is een generator van continue tijdsevolutie; een quantumprocessor voert een eindige reeks elementaire gates uit.

De omzetting vraagt vier keuzes: een qubitvolgorde, een fermionische mapping, een Trotterontbinding en een gateconstructie voor iedere Hamiltonia term. Iedere keuze introduceert óf extra gates óf een benadering. Het uiteindelijke QASM is daarom geen neutrale kopie van de theorie, maar een concrete digitale implementatie met een controleerbare herkomst.

Twee qubits per roostersite

De logische mapping is direct:

\[
|q_{2r}\rangle=|n_i(r)\rangle,
\qquad
|q_{2r+1}\rangle=|n_o(r)\rangle.
\]

In de meetvolgorde staan de inkomende en uitgaande variabele van dezelfde site dus naast elkaar. Die zigzagmapping is ook de conventie van onze lokale observable-analyzer. Uit de gemeten bits kunnen \(n_i(r)\), \(n_o(r)\), de pariteitsafhankelijke \(n_f(r)\) en de globale ladingen worden teruggebouwd.

Tijdens het circuit verandert de fysieke ligging van de logische variabelen door SWAP-gates. De paper kiest daarom voor de initialisatie een volgorde die de eerste noodzakelijke SWAP-laag al absorbeert. Na iedere volledige Trotterstap komt de mapping terug in de gedeclareerde zigzagvolgorde. Dat detail is essentieel: een correct meetresultaat met een verkeerde logische terugmapping geeft een verkeerde ruimtelijke dichtheid.

Binaire getallen zijn nog geen fermions

Een qubitladderoperator kan een nul in een één veranderen, maar operatoren op verschillende qubits commuteren. Fermionische creatie- en annihilatieoperatoren moeten juist anticommuteren. De Jordan-Wigner-transformatie herstelt dat gedrag door een tekenstring van Pauli-(Z)-operatoren vóór de lokale ladderoperator te plaatsen.

Schematisch gebruikt de paper

\[
\chi_i^-(r)=\sigma^+(r)\prod_{r'<r}[-\sigma^z(r’)],
\]

met een overeenkomstige formule voor de (o)-variabelen. De precieze indexering hangt af van de gekozen fermionische volgorde. Bij producten die naburige fermionmodi koppelen, heffen veel delen van de Jordan-Wigner-string elkaar op. Na de zwakke-koppelingsbenadering ontstaat daardoor een lokaal uitvoerbaar tweequbitinteractieblok.

Jordan-Wigner is geen ruisonderdrukking en geen benadering van de fysica. Het is een exacte algebraïsche mapping voor de gekozen eindige ordening. De extra Pauli-strings en de routering die daaruit volgen bepalen wel de circuitkosten.

Continue evolutie in kleine stappen

De gewenste evolutie over een korte geschaalde tijd \(\delta\tau\) is \(e^{-iW\delta\tau}\). De drie delen van \(W\) commuteren niet, zodat

\[
e^{-i(H_E+\mu H_M+xH_I)\delta\tau}
\ne
e^{-iH_E\delta\tau}e^{-i\mu H_M\delta\tau}e^{-ixH_I\delta\tau}
\]

voor een eindige stap. De paper gebruikt een eerste-orde-Trotterbenadering:

\[
U(\delta\tau)
\approx
e^{-i\widetilde m H_M}
e^{-i\delta\tau H_E}
e^{-icH_I},
\qquad
c=x\delta\tau,
\quad
\widetilde m=\mu\delta\tau.
\]

Omdat operatoren van rechts op een toestand werken, wordt binnen een stap eerst de interactie, daarna de elektrische term en ten slotte de massaterm toegepast. De lokale fout per eerste-ordestap begint bij orde \(\delta\tau^2\); over veel stappen kan zij accumuleren. De gekozen waarde 0,0015 is klein om die fout te beperken, maar maakt haar niet exact nul.

Drie fouten die vaak Trotterfout worden genoemd

Het helpt om drie digitale afwijkingen uit elkaar te houden. De echte Trotterfout ontstaat doordat exponentiëlen van niet-commuterende Hamiltoniaandelen in een gekozen volgorde worden vermenigvuldigd. Zij bestaat al in een perfecte ideale simulator en kan worden onderzocht door \(\delta\tau\) te verkleinen of een hogere-ordeformule te gebruiken.

Daarna komt gatesynthese. De analytische tweequbitunitaries worden ontbonden in een beschikbare logische gateset. Wanneer de rotatiehoeken exact beschikbaar zijn, kan die ontbinding algebraïsch exact zijn; op hardware worden hoeken en pulsen met eindige calibratienauwkeurigheid gerealiseerd.

Ten slotte is er transpiler- en hardwarefout. Een backend kan extra routing, een andere native ontbinding, decoherentie en stochastische gatefouten introduceren. Een kleinere Trotterstap vraagt bovendien meer stappen voor dezelfde fysische tijd en kan daardoor méér hardwarefout verzamelen. Het optimale digitale experiment balanceert dus model-, Trotter- en hardwarefout; alleen een kleinere delta tau is niet automatisch beter op een noisy processor.

flowchart LR
    A["initial state"] --> I["interactie: hoppinglagen"]
    I --> S["SWAP naar onsite paren"]
    S --> E["elektrische fase"]
    E --> M["staggered Rz-massafase"]
    M --> Z["zigzagmapping na één Trotterstap"]
    Z --> I

Het interactieblok

De benaderde interactieterm verplaatst een stringeinde tussen naburige modes. Op de computationele basis \(|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\) heeft het elementaire blok de vorm

\[
U_I(c)=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&\cos c&i\sin c&0\\
0&i\sin c&\cos c&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}.
\]

De toestanden \(|01\rangle\) en \(|10\rangle\) worden coherent gemengd; de lege en dubbel bezette toestand blijven in dit blok onveranderd. Het lijkt op een partiële iSWAP- of XY-rotatie en bewaart de totale bezetting van het paar.

In de paper wordt dit blok ontbonden in Hadamards, CNOTs en tegengestelde \(R_z(c)\)-rotaties. De publieke QASM bevat vervolgens de concrete basisgates van die ontbinding. De exacte hardwarepulsen ontstaan pas wanneer het circuit naar de native gates van de gekozen IBM-processor wordt gecompileerd.

Iedere niet-randmode moet met een linker- en rechterbuur koppelen. Die interacties kunnen niet allemaal tegelijk op dezelfde qubit worden uitgevoerd. De schakeling splitst ze daarom in twee lagen, vergelijkbaar met een even-onevenontbinding. Tussen de lagen herschikken SWAP-gates de relevante logische variabelen.

De elektrische fase

De grote achtergrondflux levert in de gebruikte benadering grotendeels een globale fase. Een globale fase verandert geen meetkans en kan uit het circuit worden weggelaten. Er blijft een configuratieafhankelijke correctie over voor een specifiek onsitepatroon van \(n_i,n_o\).

Het elektrische tweequbitblok is diagonaal. Op één gewenste basisconfiguratie wordt een relatieve fase \(e^{i\theta}\) gezet, terwijl de overige componenten op een gemeenschappelijke fase na gelijk blijven. Twee CNOTs en drie \(R_z\)-rotaties realiseren deze controlled phase zonder een extra fluxregister.

Hier zit opnieuw een modelbenadering. De gemiddelde achtergrondflux is niet in iedere basiscomponent exact gelijk, maar wordt door een vaste randflux vervangen. Het faseblok bewaart een deel van de elektrische terugkoppeling dat anders geheel verloren zou gaan.

De staggered massafase

De massaterm is diagonaal en telt de lokale stringeinden met een afwisselend teken:

\[
H_M=\sum_r(-1)^r[n_i(r)+n_o(r)].
\]

Daarom zijn alleen enkelqubit-\(R_z\)-rotaties nodig. Op even sites krijgen beide sitequbits de ene rotatierichting; op oneven sites de tegengestelde. Deze gates worden aan het einde van iedere Trotterstap toegepast.

De massaterm is computationeel goedkoop. De diepte wordt vooral bepaald door de tweequbitinteractie, de elektrische fase en het routeren tussen de benodigde paren.

Waarom de diepte nauwelijks van (N) afhangt

De interacties zijn lokaal en kunnen over niet-overlappende paren parallel worden uitgevoerd. De SWAPs zijn eveneens in twee parallelle lagen te organiseren. Een langer rooster bevat meer gates per laag, maar niet automatisch meer opeenvolgende lagen. Daardoor is de diepte per Trotterstap in het ideale logische schema onafhankelijk van de roosterlengte.

Voor (t) Trotterstappen rapporteert de paper een tweequbitdiepte

\[
d_2(t)=13t-1.
\]

De aftrek van één komt doordat de eerste SWAP-laag in de initialisatie is verwerkt. Bij 20 stappen is \(d_2=259\); bij 25 stappen \(d_2=324\). Het 25-stappencircuit bevat 17.660 tweequbitgates en in totaal 90.955 gates.

Die schaal is tegelijk indrukwekkend en misleidend wanneer zij zonder context wordt genoemd. Een groot gateaantal bewijst niet dat het circuit klassiek onbereikbaar of fysisch correct is. De gatefamilie, gewenste observabele, verstrengeling en benaderingen bepalen de echte moeilijkheid.

Van logisch circuit naar IBM Boston

De logische interactiegrafiek is een lijn. IBM Boston bevat een geschikte verbonden keten binnen zijn 156 fysieke qubits. De transpiler wordt volgens de paper gebruikt om een relatief ruisarme keten te selecteren en het circuit naar de native gates te ontbinden. Omdat de logische routing al bij de topologie past, zijn voor de initiële plaatsing geen extra routerings-SWAPs nodig boven op de SWAPs van het algoritme zelf.

De gedownloade QASM-bestanden bevatten de unitaire circuits zonder klassieke registers en metingen. Onze Fire Opal-runner houdt die bronbestanden ongewijzigd en maakt gemeten kopieën met een volledig Z-basismeetregister. Zo blijft zichtbaar welk deel van upstream komt en welk deel lokaal voor uitvoering is toegevoegd.

Kleine verificatie vóór 120 qubits

De auteurs vergelijken voor zes sites, dus twaalf qubits, een ideale circuitsimulatie met exacte matrixevolutie van de volledige LSH-Hamiltoniaan. De initiële toestand is het SCV en de totale deeltjesdichtheid wordt door de tijd gevolgd. Overeenkomst bij \(x=100\) ondersteunt de gekozen parameters en de circuitconstructie op kleine schaal.

Die proef is noodzakelijk, maar niet voldoende. Een kleine exacte match garandeert niet dat Trotter-, cutoff- en zwakke-koppelingsfouten bij 60 sites en langere tijd even klein blijven. Daarom gebruikt de grote berekening daarnaast TN en Pauli-propagatie.

Wat is hier aangetoond?

De benaderde LSH-Hamiltoniaan kan met twee qubits per site worden omgezet in een lokaal, paralleliseerbaar Trottercircuit. De herkomst van ieder gateblok is traceerbaar naar de interactie-, elektrische of massaterm, en het kleine circuit is tegen exacte evolutie gecontroleerd.

Wat is nog niet aangetoond?

Een correct QASM-bestand bewijst niet dat de zwakke-koppelingsbenadering de volledige theorie op alle tijden volgt. Ook zegt de ideale diepte niets over de uiteindelijke hardwarefout. Die twee vragen vereisen respectievelijk de klassieke modelbaselines en de werkelijke QPU-meting.

Deel 5 volgt daarom het circuit door de standalone Fire Opal-route naar ibm_fez, reconstrueert de observabelen uit counts en laat zien waarom readoutcorrectie bij een 512-shot-smoke niet vanzelf een verbetering is.

Bronnen

1. Fran Ilčić et al., paper v3, Methods, vergelijkingen 29-44 en figuur 6.
2. Publieke QASM-circuits.
3. Tracker-QASM voor de stap-20-instantie.
4. Z. Davoudi, A. F. Shaw en J. R. Stryker, algoritmen voor niet-Abelse Hamiltoniaansimulatie.
5. Bronnen- en notatiedossier.