Deel 6 van de reeks Van quarks tot quantumvoordeel

Wat is de klassieke tegenstander van een 120-qubitquantumcircuit? Het voor de hand liggende antwoord, een klassieke simulatie van 120 qubits, is te grof. Er zijn minstens drie verschillende objecten die we kunnen simuleren: de volledige LSH-Hamiltoniaan, het benaderde ideale circuit en alleen de gemeten lokale observabelen. Iedere keuze leidt tot een andere methode, foutbron en rekentijd.

De paper gebruikt daarom geen enkele klassieke waarheid. Exacte diagonalisatie controleert kleine systemen. Tensor networks benaderen de volledige fysieke Hamiltoniaan. Pauli-propagatie benadert het ruisvrije digitale circuit. In ons project komen daar Aer MPS, ITensor QASM-MPS, een kleine LSH-MPO-validatie en een Majorana-feasibilitytest bij.

De validatiekaart

Methode	Primair object	Sterkste bijdrage	Belangrijkste grens
Exacte diagonalisatie	volledige kleine Hamiltoniaan	referentie zonder Trotterfout	exponentiële Hilbertruimte
TN/TDVP	volledige LSH-Hamiltoniaan	fysische modelreferentie	fluxcutoff en bonddimensie
Pauli-propagatie	ideaal circuit en lokale observabele	circuitreferentie	groei van Pauli-termen
Aer MPS	gecompileerd QASM	lokale circuit-smoke	MPS-convergentie en implementatie
ITensor QASM-MPS	gecompileerd QASM	tweede circuitengine	bonddimensie en runtime
Lokale LSH-MPO	volledige kleine LSH-constructie	Hamiltoniaanvalidatie	nog geen paper-scale TDVP
Majorana/Gaussian	kwadratische fermioncircuits	snelle exacte route indien toepasbaar	circuit is niet Gaussian

flowchart TD
    H["volledige LSH-Hamiltoniaan"] --> ED["exacte diagonalisatie, klein N"]
    H --> TN["MPS/MPO plus TDVP"]
    H --> A["zwakke-koppelingsbenadering"]
    A --> Q["ideaal QASM-circuit"]
    Q --> PP["Pauli-propagatie"]
    Q --> MPS["Aer en ITensor QASM-MPS"]
    Q --> HW["QPU-hardware"]

De pijlen zijn belangrijker dan de namen. TN en PP zijn niet twee implementaties van exact dezelfde berekening. Hun onderlinge overeenkomst toetst juist de stap van volledige theorie naar benaderd circuit.

Exacte diagonalisatie: klein maar beslissend

Bij exacte diagonalisatie wordt de Hamiltoniaan als volledige matrix in een eindige basis opgebouwd. De tijdsevolutie volgt dan uit matrixfuncties of uit de volledige eigendecompositie. Binnen de gekozen cutoff is er geen Trotterfout, geen MPS-truncatie en geen Pauli-termafkap.

De prijs is exponentiële groei. Zelfs nadat onfysische sectoren zijn verwijderd, groeit het aantal toegestane LSH-configuraties snel met het aantal sites en de fluxcutoff. De paper gebruikt daarom zes sites en twaalf qubits als proof of concept. De exacte volledige LSH-evolutie wordt daar vergeleken met een ideale Qiskit-simulatie van het Trottercircuit.

Onze lokale dense route doet aanvullende structuurcontroles voor \(N=2,3,4\) met \(n_{l,\max}=2\). Zij controleert Hermiticiteit, de Abelian Gauss Law, globale sectoren en koppelingen vanuit het SCV. Voor \(N=4\) heeft de gekozen \(Q=4,q=0\)-sector 88 toestanden. Dat is uitstekend voor unit tests, maar geen prestatiebaseline voor \(N=60\).

Exacte kleine systemen hebben dus een bijzondere functie: ze kunnen een verkeerd teken, onjuiste linkconstraint of fout gateblok vroeg ontmaskeren. Ze kunnen niet aantonen dat een klassieke methode bij 60 sites snel blijft.

Tensor networks: de volledige LSH-fysica

Een matrix product state schrijft de veeldeeltjestoestand als een keten van lokale tensoren. De interne indices hebben bonddimensie \(D\). Als de verstrengeling beperkt blijft, kan een relatief kleine \(D\) de toestand veel compacter beschrijven dan de volledige Hilbertruimte.

Voor de paper bevat de lokale fysieke index de volledige LSH-toestand \(|n_l,n_i,n_o\rangle\). De Hamiltoniaan wordt als matrix product operator opgebouwd. Globale symmetrieën \(B\) en \(q\) worden in blok-sparse tensoren verwerkt. De tijdsevolutie gebruikt 2-site TDVP met ITensors.jl.

De belangrijkste instellingen zijn:

• volledige LSH-Hamiltoniaan, niet het vereenvoudigde qubitmodel;
• bosonische cutoff \(j_{\max}=5/2\);
• maximale bonddimensie \(D_{\max}=200\);
• afzonderlijke MPS'en voor SCV en centraal meson;
• observabelen worden na evolutie van elkaar afgetrokken.

TDVP voert hier geen eerste-orde-Trotterontbinding van de paper-QPU uit. De TN-route vermijdt dus precies die digitale fout en dient als fysische referentie. Maar volledige Hamiltoniaan betekent nog niet exact resultaat: de fluxcutoff en eindige bonddimensie blijven benaderingen.

Bij real-time evolutie groeit de verstrengeling. Zodra de vereiste bonddimensie boven 200 komt, moet de MPS informatie weggooien. De paper meldt dat de TN-resultaten bij \(x=100\) voorbij ongeveer 20 stappen niet meer voldoende gecontroleerd zijn voor rapportage. Bij \(x=200\) treedt de praktische verslechtering al eerder op.

Onze lokale LSH-MPO-route

Het project bevat een afzonderlijke ITensorconstructie van de volledige kleine LSH-Hamiltoniaan. De linkoperatoren stemmen op de AGL-sector tot ongeveer \(10^{-15}\) overeen met de dense referentie. Voor \(N=4\), \(n_{l,\max}=2\) en tijd 0,001 geeft de dense-versus-MPO-smoke:

• energieverschil \(1,11\times10^{-11}\);
• normverschil \(2,50\times10^{-13}\);
• RMSE van de lokale \(Q\)-bijdrage \(1,20\times10^{-8}\).

Dat is goede fysische implementatievalidatie. Het is geen bruikbare timingclaim. De generieke OpSum -> MPO-bouw plus TDVP kostte ongeveer 171 seconden voor dit kleine geval, terwijl dense evolutie 0,019 seconde kostte. Die verhouding zegt vooral dat de huidige generieke lokale implementatie niet is geoptimaliseerd.

Een langzaam prototype mag nooit als kunstmatig zwakke klassieke tegenstander voor quantum advantage worden gebruikt. De paper-TN-cijfers blijven daarvoor de relevante gepubliceerde baseline.

Pauli-propagatie: simuleer de observabele

Pauli-propagatie werkt in het Heisenbergbeeld. In plaats van de volledige toestand voorwaarts te evolueren, begint de methode bij de te meten operator, bijvoorbeeld \(Z_q\), en propageert die achterwaarts door het circuit:

\[
\langle Z_q(t)\rangle
=\langle\psi_0|U^\dagger Z_q U|\psi_0\rangle.
\]

De operator wordt geschreven als som van Pauli-strings. Clifford-gates sturen een Pauli-string naar één andere Pauli-string en laten het aantal termen dus niet groeien. Niet-Cliffordrotaties kunnen een term vertakken. In het slechtste geval groeit het aantal benodigde termen exponentieel met de circuitdiepte.

De CPU- en GPU-routes in de paper beheersen die groei verschillend. Er worden budgetten, caps of coëfficiëntdrempels gebruikt om onbeduidende termen te beperken. De geschatte uiteindelijke aantallen voor \(x=50,100,200\) zijn respectievelijk ongeveer 9.400, 12.500 en 66.000 Pauli-termen. De twee implementaties bieden daardoor een onderlinge controle op de truncatiestrategie.

PP simuleert het ideale digitale circuit inclusief de gekozen zwakke-koppelingsbenadering en Trotterisatie. Overeenkomst met TN ondersteunt de fysische geldigheid van dat circuit. Afwijking tussen PP en QPU wijst vooral op hardware- en meetfouten.

Circuit-MPS met Aer en ITensor

Een QASM-circuit kan ook direct op een MPS-toestand worden toegepast. Dat is een andere taak dan TN-evolutie onder de volledige LSH-MPO. De lokale Hilbertruimte bestaat nu uit qubits en de gates zijn precies die van het gedownloade circuit.

Voor het stap-5-paar van SCV en meson vonden we:

engine	totale tijd	ingestelde max. bond	betekenis
Qiskit Aer MPS	34,281 s	64	gecompileerd QASM, 512-shotroute
ITensor QASM-MPS	174,611 s	64	gecompileerd QASM, verwachtingwaarden

De ITensor-run bereikte een maximale linkdimensie 50 en gaf \(Q=60,000000824\) voor SCV en \(Q=60,000000671\) voor meson. Dat bevestigt dat het ideale circuit de globale sector zeer nauwkeurig bewaart. De verschillende runtimes meten vooral engine, implementatie en meetstrategie; ze zijn geen universele complexiteitsvergelijking.

Deze lokale MPS-runs zijn nuttig voor de decoder en het circuit. Zij kunnen niet de paper-TN-route vervangen, omdat beide kanten dan dezelfde benaderde QASM simuleren en de stap terug naar de volledige Hamiltoniaan ongecontroleerd blijft.

Waarom Majorana hier niet de snelle uitweg is

Kwadratische fermion-Hamiltonianen en matchgatecircuits kunnen exact via de lineaire evolutie van Majorana-operatoren worden gesimuleerd. Dat is polynomiaal en kan veel grotere systemen bereiken dan een algemene toestandssimulator.

De gedownloade hadron-QASM is onder de standaardencoding echter geen zuiver fermionisch Gaussian circuit. De lokale gate-inventaris over de onderzochte circuits bevat onder andere 59.200 CNOTs, 23.600 Hadamards en 11.560 gewone SWAPs. CNOT en Hadamard liggen niet algemeen in de fermionisch Gaussian groep; een gewone qubit-SWAP mist bovendien het pariteitsteken van een fermionische SWAP.

Een Majoranasimulator kan daarom hooguit een apart vrij-fermionsurrogaat of ondergrensmodel leveren. Hij is geen exacte vervanging voor PP of de volledige LSH-TN-berekening.

Welke klassieke tijd is eerlijk?

Een timinggetal is pas interpreteerbaar wanneer vijf zaken vaststaan:

1. Wordt de volledige Hamiltoniaan of het gecompileerde circuit gesimuleerd?
2. Wordt de volledige toestand of alleen een lokale observabele berekend?
3. Welke cutoff, bonddimensie of termdrempel wordt gebruikt?
4. Gaat het om één tijdpunt of de hele tijdreeks?
5. Welke hardware en welke fouttolerantie horen bij de run?

De paper-TN- en PP-tijden beantwoorden niet exact dezelfde algoritmische vraag, maar leveren wel de twee benodigde validatielagen voor dezelfde gerapporteerde fysische observabelen. Onze lokale tijden voegen implementatiechecks toe. Deel 7 zal ze daarom niet allemaal op één hoop gooien.

Wat is hier aangetoond?

De hadronsimulatie heeft een gelaagde klassieke controle. Kleine exacte evolutie controleert de constructie, TN controleert de volledige LSH-fysica, PP controleert het ideale circuit en twee lokale MPS-engines controleren het gedownloade QASM en de decoder.

Wat is nog niet aangetoond?

Geen van de lokale klassieke routes is een geconvergeerde, paper-scale reproductie van de volledige \(N=60\)-LSH-TDVP-berekening. De Majoranaroute is niet exact toepasbaar en een enkele runtime zonder nauwkeurigheidsdoel bewijst geen asymptotische klassieke onmogelijkheid.

In deel 7 combineren we voor het eerst de fysische validatie en de tijden. De vraag wordt dan niet is quantum sneller?, maar: voor welke exact gedefinieerde observable-estimation-taak, met welke fout en welke klok?

Bronnen

1. Fran Ilčić et al., paper v3, TN- en PP-methoden.
2. U. Schollwöck, MPS en DMRG.
3. M. C. Bañuls, Tensor Network Algorithms: A Route Map.
4. M. S. Rudolph et al., Pauli Propagation: A Computational Framework for Simulating Quantum Systems.
5. Lokale quantum-win-claimgrens.
6. Lokale Majorana-feasibility.
7. Lokale LSH-MPO-samenvatting.