Dit project begint niet bij qubits. Het begint bij een fysisch model: het 1D Fermi-Hubbard model. Dat model beschrijft fermionen die door een rooster kunnen hoppen en elkaar lokaal voelen wanneer twee tegengestelde spins op dezelfde site zitten.

Een 1D keten kun je zien als een rij posities

1 – 2 – 3 – 4 – … – 60

Op elke site zijn er twee fermionische modes: spin-up en spin-down. Een site kan leeg zijn, een spin-up fermion bevatten, een spin-down fermion bevatten, of beide. Als beide spins op dezelfde site zitten, telt de interactieterm mee.

De Hamiltoniaan is compact

\[H=-t_h\sum_{i,\sigma}\left(c^\dagger_{i,\sigma}c_{i+1,\sigma}+c^\dagger_{i+1,\sigma}c_{i,\sigma}\right)+U\sum_i n_{i,\uparrow}n_{i,\downarrow}-\mu\sum_{i,\sigma}n_{i,\sigma}\]

De eerste term is hopping. Een fermion beweegt van site i naar site i+1. De parameter t_h bepaalt hoe sterk die beweging is. De tweede term is de onsite interactie. Die wordt belangrijk wanneer spin-up en spin-down op dezelfde site aanwezig zijn. De parameter U bepaalt of dat energetisch duur of gunstig is.

In de Q-CTRL Fermi-Hubbard paper en in onze grote lokale vergelijking staat de aantrekkelijke kant centraal: U/t_h = -2. Dat is een regime waarin paring en double occupancy interessante observables worden.

Waarom is dit lastig?

Fermionen zijn geen gewone bits. Fermionische operatoren anticommuteren. Als je twee bezette fermionische modes verwisselt, verschijnt er een minteken. Dit is geen boekhoudkundige luxe. Het is een fysische eigenschap van fermionen.

Voor een quantumcomputer betekent dit dat je niet zomaar de sites op qubits kunt plakken en gewone swaps kunt gebruiken. De mapping moet de fermionische tekens behouden. Daarom komen later de Jordan-Wigner ordering, fSWAP gates en snake layout in beeld.

Wat meten we?

Voor een materiaalachtig beeld kijken we niet naar de volledige quantumtoestand. Die is veel te groot. We kijken naar lokale observables.

\[n_\uparrow(i)=\langle n_{i,\uparrow}\rangle,\quad n_\downarrow(i)=\langle n_{i,\downarrow}\rangle\\ \mathrm{charge}(i)=n_\uparrow(i)+n_\downarrow(i)\\ \mathrm{spin}(i)=n_\uparrow(i)-n_\downarrow(i)\\ D(i)=\langle n_{i,\uparrow}n_{i,\downarrow}\rangle\]

De charge vertelt hoeveel deeltjes lokaal aanwezig zijn. De spin vertelt of er lokaal meer spin-up dan spin-down is. Double occupancy is direct gevoelig voor de interactie U, omdat die precies meet hoe vaak beide spins dezelfde site bezetten.

Een keten met 60 sites heeft 120 spin-orbitals: 60 sites maal twee spins. Op een digitale quantumcomputer betekent dit natuurlijk 120 qubits. Dat is de schaal waarop de Q-CTRL/IBM Fermi-Hubbard demonstratie interessant wordt.

Waarom 1D?

Een 1D keten is eenvoudiger dan een echt 2D of 3D materiaal. Maar juist daarom is 1D een goede testbank. Tensor-network methoden zoals MPS en TDVP zijn sterk in 1D. Als quantumhardware hier al competitief wordt, dan komt dat niet omdat klassieke methoden dom zijn. Dan komt het omdat de concrete taak, de layout en de observables een serieuze benchmark vormen.

Er is ook een echte experimentele analogie. Cold-atom groepen kunnen 1D Fermi-Hubbard ketens bouwen met optische roosters en quantum gas microscopes. Daar meten ze site-resolved charge en spin als functie van tijd. Onze digitale heatmaps zijn niet hetzelfde experiment, maar ze spreken dezelfde taal: sitepositie, tijd, charge en spin.

De vraag van deze reeks is daarom niet: "Zijn quantumcomputers overal sneller?" De vraag is scherper:

Hoe snel krijg je voor deze concrete Fermi-Hubbard taak een bruikbare observable, en hoeveel klassieke validatie of tuning is daarvoor nodig?

Dat is een betere near-term vraag dan een absolute quantum-advantage slogan.

Bronnen en projectlinks

• Q-CTRL Fermi-Hubbard paper: https://arxiv.org/abs/2605.04025
• Projectrepo: https://github.com/BramDo/fermi-hubbard-60q-tdvp
• Time-resolved 1D Hubbard cold-atom experiment: https://arxiv.org/abs/1905.13638