Deel 2 van de reeks Floquet-Ising: van twee qubits naar prethermale oscillaties
De abstracte Floquet-unitair uit deel 1 wordt in de paper een concreet quantumcircuit. Iedere cyclus bevat uniforme rotaties van alle spins en interacties tussen naburige spins. De volgorde is essentieel: een X-rotatie, een Z-rotatie en een ZZ-koppeling commuteren in het algemeen niet.
Drie ingrediënten
Voor N spins definiëren we de collectieve operatoren
\[X_\Sigma=\sum_{q=1}^{N}X_q,
\qquad
Z_\Sigma=\sum_{q=1}^{N}Z_q.
\]
De zware-hexagonale verbindingen worden in drie verzamelingen E1, E2 en E3 gekleurd. Binnen één kleur deelt geen enkel bondpaar een qubit. Daardoor kunnen alle ZZ-gates van die kleur parallel worden uitgevoerd. Voor kleur r schrijven we
\[C_r=\sum_{\langle i,j\rangle\in E_r} Z_iZ_j.
\]
De Floquet-unitair is vervolgens
\[U_F=\prod_{r=1}^{3}
\left(
e^{-i\theta_{zz}C_r/2}
e^{-i\theta_z Z_\Sigma/2}
e^{-i\theta_x X_\Sigma/2}
\right).
\]
Omdat operatorproducten van rechts naar links op de toestand werken, krijgt iedere kleurlaag eerst een X-veldrotatie, daarna een Z-veldrotatie en ten slotte de bijbehorende ZZ-bondlaag.
Wat doen de gates fysisch?
Een RX-rotatie mengt de Z-basisstaten |0> en |1>. Zij maakt superposities en laat de lokale magnetisatie veranderen. Een RZ-rotatie verandert relatieve fasen. Los gemeten in de Z-basis lijkt zo’n fase onzichtbaar, maar na latere niet-commuterende gates beïnvloedt zij de interferentie.
De RZZ-gate is
\[R_{ZZ}(\theta_{zz})=
e^{-i\theta_{zz}Z\otimes Z/2}.
\]
Deze gate is diagonaal in de Z-basis, maar geeft even-pariteitstoestanden |00> en |11> een andere fase dan |01> en |10>. In combinatie met de X-rotaties bouwt zij verstrengeling op.
Waarom heavy-hex?
Heavy-hex is de connectiviteitsgrafiek van meerdere IBM-processors. Iedere qubit heeft relatief weinig buren, wat crosstalk en fabricageproblemen helpt beperken. Voor dit experiment is de graaf tegelijk een fysisch rooster: de hardwareverbindingen zijn de Ising-bonds.
De drie edge-colourlagen zijn geen cosmetische compilertruc. Ze bepalen de digitale tijdsvolgorde van de interacties. Op één kleur kunnen de gates parallel; tussen kleuren worden opnieuw veldrotaties toegepast. De circuitdiepte groeit daardoor lineair met het aantal Floquetcycli, niet met het totale aantal bonds per cyclus.
Het gekozen parameterpunt
De paper vindt met exacte 21-qubitscans een compromis tussen behouden magnetisatie en opgebouwde complexiteit. De geselecteerde totale veldhoeken zijn ongeveer
\[3\theta_x\approx1.57,
\qquad
3\theta_z\approx0.34,
\qquad
\theta_{zz}\approx1.05.
\]
Per laag betekent dat ongeveer theta-x = pi/6, theta-z = pi/27 en theta-zz = pi/3. De openbare 51-qubit-QASM bevat iets preciezere per-laagwaarden: 0.5218893141 en 0.1129311682 radiaal. Ons oorspronkelijke toy model gebruikt de eenvoudige pi-breuken; een aparte trackerreferentie gebruikt de QASM-waarden exact.
Beginstaat en observabelen
De beginstaat is volledig ferromagnetisch:
\[|\psi_0\rangle=|0\rangle^{\otimes N}.
\]
De paper volgt vooral de gemiddelde magnetisatie
\[M=\frac{1}{N}\sum_{q=1}^{N}\langle Z_q\rangle.
\]
De openbare 51-qubittracker gebruikt daarnaast het gemiddelde van 86 ZZ-correlaties op graafstand drie. Dat is een andere observabele dan de twee-qubitmagnetisatie. Twee getallen mogen alleen worden vergeleken wanneer systeem, cycli, parameters en observable hetzelfde zijn.
De reductie naar twee qubits
Met twee spins bestaat maar één bond. We plaatsen die in kleurlaag 1; de andere twee kleurlagen bevatten nog wel hun X- en Z-rotaties, maar geen ZZ-gate. In tijdsvolgorde:
RX x RX
RZ x RZ
RZZ
RX x RX
RZ x RZ
RX x RX
RZ x RZDeze reductie bewaart de gateconventie, de drie lagen, de herhaling en het samenspel van velden en interactie. Zij verwijdert bijna alles wat het grote probleem echt moeilijk maakt: de heavy-hexgeometrie, ruimtelijke operatorgroei, 86 correlatieparen en een thermodynamische schaalanalyse.
Een belangrijke begripsgrens
Een circuit kan dezelfde lokale gates gebruiken en toch andere collectieve fysica hebben. Veeldeeltjeseigenschappen ontstaan niet alleen uit het gatetype, maar uit de combinatie van geometrie, systeemgrootte, beginstaat en tijd. Daarom noemen we de twee-qubitversie een mechanismecheck, geen verkleinde experimentele reproductie.
In deel 3 rekenen we deze zeven gates daadwerkelijk uit. We beginnen bij |00>, construeren de vier-bij-vier Floquetmatrix en controleren de eerste magnetisatie rechtstreeks uit de vier meetkansen.
Bronnen
- E. Leviatan et al., paper en vergelijking (1).
- Exacte mapping naar de publieke 51-qubit-QASM.