Een groter quantumcircuit is niet automatisch een betere simulatie. Eerst moet vaststaan welk model het circuit uitvoert. In ons project bleek dat verschil belangrijk: een ondiepe, deeltjesbehoudende XY-route is niet zomaar dezelfde berekening als het volledige tweedimensionale fermionmodel.
Hopping, afstoting en spin
Het Hubbard-model beschrijft deeltjes die tussen naburige sites bewegen. De hoppingparameter t bepaalt de energieschaal. Twee deeltjes met tegengestelde spin kunnen dezelfde site bezetten, maar dat kost in ons repulsieve model de energie U. Daarom is dubbelbezetting een interessante observabele: zij reageert op de wisselwerking en op de dynamica.
Ons target bevat ook diagonale hopping t'=-0,25, naast t=1 en U=8. Het getal U=8 betekent dus U/t=8. Het betekent niet acht interacties of acht seconden. De evolutietijd T=0,4 is eveneens een modelgrootheid, uitgedrukt in eenheden hbar/t. Die tijd heeft geen directe gelijkheid met de duur van de quantumjob.
\[H=-t\sum_{\langle i,j\rangle,\sigma}(c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma}+\mathrm{h.c.})-t’\sum_{\langle\!\langle i,j\rangle\!\rangle,\sigma}(c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma}+\mathrm{h.c.})+U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}.
\]
Hier staat c-dagger voor het creëren van een fermion en c voor het vernietigen ervan. De eerste twee sommen verplaatsen deeltjes; de laatste term bestraft dubbelbezetting. We gebruiken open randen, geen periodiek aan elkaar geknoopte roosterzijden.
De mintekens die je niet mag vergeten
Fermionen voldoen aan anticommutatieregels. Verwisselen van twee fermionen kan een minteken opleveren. Een qubit heeft die eigenschap niet vanzelf. Een fermion-naar-qubitmapping moet die algebra daarom expliciet bewaren.
Bij Jordan-Wigner gebeurt dat met pariteitsstrings van Z-operatoren. Voor modi die in de gekozen volgorde ver uit elkaar liggen, kunnen die strings lang worden. In twee dimensies ontstaat zo een spanning tussen een lokaal fysisch rooster en de qubitvolgorde waarmee we het implementeren.
De vroege bare-XY/t-only-routes waren bruikbaar voor technische pilots, maar bevatten niet alle niet-lokale fermiontekens en modeltermen. De latere volledige route houdt pariteit, t', en U wel bij. Beide blijven in het archief staan, met verschillende labels en referenties.
Wat behouden blijft, en wat echt moet worden voorspeld
We starten op 6×6 met 32 deeltjes: zestien up en zestien down. Het model behoudt beide aantallen. Een resultaat dichtbij N=32 is een nuttige controle, maar de waarde 32 kennen we al vóór de simulatie.
De niet-triviale vragen zijn waar de lading terechtkomt, hoeveel lokale spinstructuur overblijft en waar dubbelbezetting ontstaat. De bekende totale lading mag die onbekende lokale dynamica niet vervangen.
Ons model is geïnspireerd door gecorreleerde-elektronenfysica. Daaruit volgt niet dat we een echt cupratenmateriaal of supergeleiding hebben gesimuleerd. Deze serie gaat over een concreet, programmeerbaar model en de kwaliteit van de berekening daarvan.
Bronnen: theory/HANDBOOK.md, cuprate_2d_fermionic_mapping.py, cuprate_2d_fermionic_dynamics.py en de onafhankelijke kleine-roostercontroles in validate_cuprate_2d_fermionic_dynamics.py in de projectrepo.